Sebenarnya tanpa kita sadari di dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali yang berkaitan dengan konsep sudut, misalkan ketika kita memanah, memancing, bermain karambol, bermain billiard, dan lain-lain.
A. Konsep Sudut
Sudut terbentuk karena dua sinar garis bertemu pada satu titik. Misalnya pemanah, sudut terbentuk antara tangan dengan badan pemanah. Untuk gambar pemancing, garis bantu merah sengaja ditambah untuk menunjukkan lebih jelas sudut yang terbentuk antara pancingan dengan bidang datar.
Terminologi garis dalam hal ini merupakan sinar garis, karena memiliki awal dan tidak memiliki titik ujung. Perhatikan garis lurus yang dibentuk antara alat backstaff dengan matahari. Kedua garis lurus tersebut membentuk sebuah sudut tertentu yang akan menentukan ketinggian matahari. Sedangkan yang terdapat pada kursi dan meja billiard terdapat bentuk sudut pada tempat duduk dengan sandarannya dan pada arah bola.
Secara matematis, hubungan sinar garis dan titik sudut diilustrasikan sebagai berikut.
Suatu sudut terbentuk dari perpotongan dua sinar garis yang berpotongan tepat di satu titik, sehingga titik potongnya disebut dengan titik sudut. Nama suatu sudut dapat berupa simbol α, β, dll, atau berdasarkan titik titik yang melalui garis yang berpotongan tersebut. Biasanya, satuan sudut dinyatakan dalam dua jenis, yaitu derajat ("°") dan radian (rad). ∠APB bisa juga disebut ∠P, dan besar sudut P dilambangkan dengan m∠P. Keterangan: Besar sudut satu putaran penuh adalah 360°
B. Menentukan Besar Sudut yang Dibentuk oleh Jarum Jam
Jarum jam terdiri dari jarum detik (jarum panjang), jarum menit, dan jarum yang menunjukkan jam. Dalam ukuran sudut dikenal juga istilah satuan derajat, menit, dan detik yang pengertiannya berbeda dengan satuan menit, detik pada satuan waktu .
Contoh 1 :
Tentukan ukuran sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika menunjukkan pukul 02.00.
Pada pukul 02.00, jarum jam menunjuk ke arah bilangan 2 dan jarum menit menunjuk ke arah bilangan 12, sehingga sudut yang terbentuk adalah 1/6 putaran penuh. 1/6 × 360 = 60°Jadi sudut yang terbentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika pukul 02.00 adalah 60°.
Perputaran selama 12 jam jarum jam berputar sebesar 360°, akibatnya pergeseran tiap satu jam adalah 360°/12 = 30°.
Contoh 2 :
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika jarum menunjukkan pukul 03.25.
Dengan aturan jarum jam dan jarum menit, kita dapat menentukan besar sudut yang terbentuk, saat pukul 03.25. Perhatikan jarum jam (warna merah muda). Jarum tersebut menunjukkan 3 jam lebih 25 menit , dapat ditulis 3 25/60 jam. Karena tiap satu jam, jarum jam bergerak 30°, maka.
Jarum menit (warna biru) menunjuk bilangan 5, sehingga besar sudutnya adalah 25 × 6° = 150°
Sudut terkecil =150 − 102,5 = 47,5°
Jadi, besar sudut yang terbentuk pada saat pukul 03.25 adalah 47,5°.
C. Penamaan Sudut
Secara matematis, penamaan sudut diperlukan untuk mempermudah penamaan sudut untuk kajian selanjutnya. Dari di bawah ini, BA dan BC disebut kaki sudut. Titik B adalah titik sudut. Secara umum, ada dua penamaan sudut, yaitu:
Pada setiap sudut yang terbentuk, harus kita tahu berapa besar derajat sudutnya. Secara manual, kita dapat menggunakan alat ukur sudut yaitu busur. Alat ini dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar. Perlu kita kenalkan bahwa, terdapat ukuran sudut standar yang perlu kita ketahui, seperti yang disajikan pada gambar di bawah ini.
Ayo Kita Menalar
Setelah kalian memahami sedikit informasi, sekarang coba perhatikan kedua gambar jam dinding berikut.
Jam dinding (b) selalu menghasilkan keterlambatan lima menit untuk setiap jamnya dengan jam dinding (a). Jika saat sekarang kedua jam tersebut menunjukkan waktu yang sama, yaitu tepat pada jam 8 pagi, maka pada jam berapakah jam dinding (b) akan menunjukkan waktu yang sama lagi dengan jam dinding (a)? Jelaskan.
Oleh karena itu, kita mencari pola untuk mengetahui jam yang sama antara jam (a) dengan ja (b), sebagai berikut:
1 jam berikutnya : jam (b) terlambat 1 × 5 = 2 menit dibandingkan jam (a)
2 jam berikutnya : jam (b) terlambat 2 × 5 = 10 menit dibandingkan jam (a)
3 jam berikutnya : jam (b) terlambat 3 × 5 = 15 menit dibandingkan jam (a)
4 jam berikutnya : jam (b) terlambat 4 × 5 = 20 menit dibandingkan jam (a)
12 jam berikutnya : jam (b) terlambat 12 × 5 = 60 menit dibandingkan jam (a)
Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa setiap 12 jam (b) terlambat 60 menit atau 1 jam dibanding jam (a) Jadi, jam dinding (b) akan menunjukkan waktu yang sama lagi dengan jam dinding (a) pada jam 08.00 WIB.
Ayo Kita Berlatih
1. Sudut didefinisikan sebagai . . .
a. dua sinar garis yang berpotongan
b. dua sinar garis yang bersekutu pada pangkalnya
c. dua garis yang berpotongan
d. dua garis berimpit
Sudut adalah dua sinar garis yang bersekutu pada pangkalnya
2. Perhatikan gambar di bawah ini. Ukurlah besar sudut yang diberi tanda.
3. Tentukan banyak sudut dari gambar di bawah ini
4. Pada setiap gambar berikut, tampak sinar-sinar yang tidak segaris dan berpangkal pada titik yang sama.
5. Nyatakanlah setiap sudut di bawah ini, apakah termasuk sudut lancip, tumpul, atau siku-siku. Serta gambarkan setiap sudut tersebut!
a. 1/3 sudut lurus = 1/3 x 180° = 60° (lancip)
b. 2/5 putaran penuh = 2/5 x 360° = 144° (tumpul)
c. 180° − 5/6 sudut lurus. = 180° - 150° = 30° (lancip)
6. Hitung sudut terkecil dari jarum jam berikut ini!
a. Pukul 04.30
Jarum panjang = 30 x 6° = 180
Sudut terkecil = 180° - 135° = 45°
b. Pukul 07.20
Jarum panjang = 20 x 6° = 120
Sudut terkecil = 220° - 120° = 100°
c. Pukul 05.12
Jarum panjang = 12 x 6° = 72°
Sudut terkecil = 135° - 72° = 45°
d. Pukul 09.01
Jarum panjang = 1 x 6° = 6°
Sudut terkecil = 360° - (270,5° - 6°) = 360° - 264,5° = 95,5°
e. Pukul 10.40
Jarum panjang = 40 x 6° = 240°
Sudut terkecil = 320° - 240° = 80°
7. Untuk satu hari satu malam (24 jam), ada berapa kali ukuran sudut sebesar:
a. 90° dalam keadaan normal ada 4 kali Jam 3.00, 9.00, 15.00, dan 21.00
b. 150° dalam keadaan normal ada 4 kali Jam 5.00, 7.00, 17.00, dan 19.00
c. 180° dalam keadaan normal ada 2 kali Jam 6.00 dan 18.00
8. a. Pada pukul berapa saja jarum panjang dan pendek membentuk sudut 90°? 3.00, 9.00, 15.00, 21.000.
b. Pada pukul berapa saja jarum panjang dan jarum pendek membentuk sudut 180° ? 06.00 dan 18.00
9. Tentukan jenis sudut pada gambar berikut tanpa mengukurnya
a) Sudut lancip
b) Sudut tumpul
c) Sudut lancip
d) Sudut tumpul
10. Jawablah pertanyaan berikut ini disertai dengan memberikan contoh.
11. Gambar di samping adalah model teralis suatu jendela.
Dengan menggunakan busur derajat, tentukanlah besar sudut:
a. m∠BAC = 50°
b. m∠DEF = 130°
A. Konsep Sudut
Sudut terbentuk karena dua sinar garis bertemu pada satu titik. Misalnya pemanah, sudut terbentuk antara tangan dengan badan pemanah. Untuk gambar pemancing, garis bantu merah sengaja ditambah untuk menunjukkan lebih jelas sudut yang terbentuk antara pancingan dengan bidang datar.
Terminologi garis dalam hal ini merupakan sinar garis, karena memiliki awal dan tidak memiliki titik ujung. Perhatikan garis lurus yang dibentuk antara alat backstaff dengan matahari. Kedua garis lurus tersebut membentuk sebuah sudut tertentu yang akan menentukan ketinggian matahari. Sedangkan yang terdapat pada kursi dan meja billiard terdapat bentuk sudut pada tempat duduk dengan sandarannya dan pada arah bola.
Secara matematis, hubungan sinar garis dan titik sudut diilustrasikan sebagai berikut.
B. Menentukan Besar Sudut yang Dibentuk oleh Jarum Jam
Jarum jam terdiri dari jarum detik (jarum panjang), jarum menit, dan jarum yang menunjukkan jam. Dalam ukuran sudut dikenal juga istilah satuan derajat, menit, dan detik yang pengertiannya berbeda dengan satuan menit, detik pada satuan waktu .
Contoh 1 :
Tentukan ukuran sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika menunjukkan pukul 02.00.
Perputaran selama 12 jam jarum jam berputar sebesar 360°, akibatnya pergeseran tiap satu jam adalah 360°/12 = 30°.
Contoh 2 :
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika jarum menunjukkan pukul 03.25.
Dengan aturan jarum jam dan jarum menit, kita dapat menentukan besar sudut yang terbentuk, saat pukul 03.25. Perhatikan jarum jam (warna merah muda). Jarum tersebut menunjukkan 3 jam lebih 25 menit , dapat ditulis 3 25/60 jam. Karena tiap satu jam, jarum jam bergerak 30°, maka.
| (3 x 30°) + ( | 25 | x 30°) = 90° + 12,5° = 102,5° |
| 60 |
Sudut terkecil =150 − 102,5 = 47,5°
Jadi, besar sudut yang terbentuk pada saat pukul 03.25 adalah 47,5°.
C. Penamaan Sudut
Secara matematis, penamaan sudut diperlukan untuk mempermudah penamaan sudut untuk kajian selanjutnya. Dari di bawah ini, BA dan BC disebut kaki sudut. Titik B adalah titik sudut. Secara umum, ada dua penamaan sudut, yaitu:
- Titik B dapat dikatakan sebagai titik sudut B seperti pada gambar. Ingat, penulisannya selalu menggunakan huruf kapital.
- Sudut yang terbentuk pada gambar di samping dapat juga disimbolkan dengan ∠ABC atau ∠CBA atau ∠B.
Pada setiap sudut yang terbentuk, harus kita tahu berapa besar derajat sudutnya. Secara manual, kita dapat menggunakan alat ukur sudut yaitu busur. Alat ini dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar. Perlu kita kenalkan bahwa, terdapat ukuran sudut standar yang perlu kita ketahui, seperti yang disajikan pada gambar di bawah ini.
- Sudut Siku-Siku: ukuran sudutnya 90°
- Sudut Lancip: ukuran sudutnya antara 0° dan 90°
- Sudut Tumpul: ukuran sudutnya antara 90° dan 180°
- Sudut Lurus: ukuran sudutnya 180°
- Sudut Reflek: ukuran sudutnya antara 180° dan 360°
Ayo Kita Menalar
Setelah kalian memahami sedikit informasi, sekarang coba perhatikan kedua gambar jam dinding berikut.
Oleh karena itu, kita mencari pola untuk mengetahui jam yang sama antara jam (a) dengan ja (b), sebagai berikut:
1 jam berikutnya : jam (b) terlambat 1 × 5 = 2 menit dibandingkan jam (a)
2 jam berikutnya : jam (b) terlambat 2 × 5 = 10 menit dibandingkan jam (a)
3 jam berikutnya : jam (b) terlambat 3 × 5 = 15 menit dibandingkan jam (a)
4 jam berikutnya : jam (b) terlambat 4 × 5 = 20 menit dibandingkan jam (a)
12 jam berikutnya : jam (b) terlambat 12 × 5 = 60 menit dibandingkan jam (a)
Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa setiap 12 jam (b) terlambat 60 menit atau 1 jam dibanding jam (a) Jadi, jam dinding (b) akan menunjukkan waktu yang sama lagi dengan jam dinding (a) pada jam 08.00 WIB.
Ayo Kita Berlatih
1. Sudut didefinisikan sebagai . . .
a. dua sinar garis yang berpotongan
b. dua sinar garis yang bersekutu pada pangkalnya
c. dua garis yang berpotongan
d. dua garis berimpit
Sudut adalah dua sinar garis yang bersekutu pada pangkalnya
2. Perhatikan gambar di bawah ini. Ukurlah besar sudut yang diberi tanda.
3. Tentukan banyak sudut dari gambar di bawah ini
- Tentukan banyak sudut yang terbentuk pada setiap gambar di atas dan tulislah jawabanmu pada titik-titik ( ... ) di atas!
- Apakah kamu melihat adanya suatu pola dari bilangan yang menyatakan banyak sudut itu? Berapakah banyak sudut yang terbentuk jika sinarnya 7 buah? 6 sudut.
- Tulislah suatu rumus yang menyatakan banyaknya sudut yang terbentuk jika banyak sinar n buah. n - 1
5. Nyatakanlah setiap sudut di bawah ini, apakah termasuk sudut lancip, tumpul, atau siku-siku. Serta gambarkan setiap sudut tersebut!
b. 2/5 putaran penuh = 2/5 x 360° = 144° (tumpul)
c. 180° − 5/6 sudut lurus. = 180° - 150° = 30° (lancip)
6. Hitung sudut terkecil dari jarum jam berikut ini!
a. Pukul 04.30
| Jarum pendek = (4 x 30°) + ( | 30 | x 30°) = 120° + 15° = 135° |
| 60 |
Sudut terkecil = 180° - 135° = 45°
b. Pukul 07.20
| Jarum pendek = (7 x 30°) + ( | 20 | x 30°) = 210° + 10° = 220° |
| 60 |
Sudut terkecil = 220° - 120° = 100°
c. Pukul 05.12
| Jarum pendek = (5 x 30°) + ( | 12 | x 30°) = 150° + 6° = 135° |
| 60 |
Sudut terkecil = 135° - 72° = 45°
d. Pukul 09.01
| Jarum pendek = (9 x 30°) + ( | 1 | x 30°) = 270° + 0.5° = 270.5° |
| 60 |
Sudut terkecil = 360° - (270,5° - 6°) = 360° - 264,5° = 95,5°
e. Pukul 10.40
| Jarum pendek = (10 x 30°) + ( | 40 | x 30°) = 300° + 20° = 320° |
| 60 |
Sudut terkecil = 320° - 240° = 80°
7. Untuk satu hari satu malam (24 jam), ada berapa kali ukuran sudut sebesar:
b. 150° dalam keadaan normal ada 4 kali Jam 5.00, 7.00, 17.00, dan 19.00
c. 180° dalam keadaan normal ada 2 kali Jam 6.00 dan 18.00
8. a. Pada pukul berapa saja jarum panjang dan pendek membentuk sudut 90°? 3.00, 9.00, 15.00, 21.000.
b. Pada pukul berapa saja jarum panjang dan jarum pendek membentuk sudut 180° ? 06.00 dan 18.00
9. Tentukan jenis sudut pada gambar berikut tanpa mengukurnya
b) Sudut tumpul
c) Sudut lancip
d) Sudut tumpul
10. Jawablah pertanyaan berikut ini disertai dengan memberikan contoh.
- a. Apakah dua sudut lancip ukurannya pasti sama? Jelaskan alasan kalian. Tidak. karena sudut lancip di bawah 90°.jadi banyak ukuran sudut yang lain.
- b. Apakah dua sudut siku-siku ukurannya pasti sama? Jelaskan alasan kalian. Tidak karena masih ada variasi sudut yang lain.
- c. Apakah dua sudut tumpul ukurannya pasti sama? Jelaskan alasan kalian. Tidak karena masih ada ukuran sudut yang lain
11. Gambar di samping adalah model teralis suatu jendela.
a. m∠BAC = 50°
b. m∠DEF = 130°
